RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

La résistance des matériaux est la science du dimensionnement. Concevoir une pièce mécanique, un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire, c’est d’abord imaginer les formes et le squelette géométrique qui remplissent les fonctions demandées; c’est ensuite déterminer les quantités de matière nécessaires et suffisantes pour réaliser ces formes et assurer une résistance sans dommage de l’objet à tous les efforts auxquels il sera soumis pendant son service. Ce dimensionnement fait appel à des calculs qui prévoient le comportement de l’objet dont la conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique; la résistance des matériaux est l’outil majeur des bureaux d’étude.

Les premières recherches scientifiques connues sur la résistance d’éléments de construction ne remontent qu’à la fin du XVI^e siècle avec les travaux de Galilée sur la tension et la flexion des poutres. Il ne semble pas que les constructions anciennes aient fait l’objet d’études prévisionnelles concernant la résistance. L’absence de souci d’économie de matière, le sens élevé de l’esthétique (une forme esthétique est souvent une forme optimale vis-à-vis de la résistance), des connaissances empiriques à base expérimentale ont permis la réalisation d’ouvrages durables. En 1678, Robert Hooke énonce les bases de la théorie de l’élasticité linéaire (réversibilité et proportionnalité des déformations aux efforts), qui rend compte des petites déformations de la plupart des corps solides. Elle est utilisée peu après par Edme Mariotte et Jean Bernoulli pour résoudre des problèmes de flexion de poutres. Après les travaux de Charles Augustin Coulomb, Henri Navier, Augustin-Louis Cauchy, entre autres, au milieu du XIX^e siècle, la résistance des matériaux est créée en tant que science appliquée. Son développement rapide, dû aux travaux des ingénieurs du XX^e siècle, a conduit à l’élaboration de nombreuses méthodes de calcul analytique qui ont pu être érigées en règles ou règlements à l’usage des bureaux d’étude. L’avènement des ordinateurs a rendu possible l’exploitation de méthodes numériques générales qui permettent de résoudre les problèmes posés par les structures complexes (assemblages de poutres, plaques). Les recherches sont, depuis les années 1970, orientées vers le développement de ces méthodes, vers l’étude des petites et grandes déformations permanentes des matériaux, des phénomènes de rupture, de la résistance aux environnements complexes (efforts évolutifs, hautes et basses températures) et vers l’utilisation de matériaux nouveaux (superalliages, polymères, matériaux composites, céramiques).

La résistance d’un élément de construction est un concept complexe, car cet élément peut être mis hors d’usage de diverses manières, chacune d’elles correspondant à des phénomènes physiques différents.

Les critères usuels de sécurité sont:

– la contrainte maximale : en tout point du solide, on doit s’assurer que la contrainte (force par unité de surface) ne dépasse pas une valeur fixée par les possibilités du matériau et les résultats découlant de l’expérience de constructions semblables;

– le déplacement maximal : les déformations de la pièce ne doivent pas dépasser les limites au-delà desquelles ses fonctions ne sont plus correctement assurées;

– la rupture par fatigue : les pièces soumises à de fortes vibrations peuvent se rompre au bout d’un certain temps de service si les amplitudes de contrainte sont trop élevées;

– la rupture par fissuration : un défaut du métal est parfois générateur d’une fissure susceptible de se propager brutalement jusqu’à provoquer une rupture «catastrophique» si certaines conditions entre la contrainte et la taille du défaut ne sont pas respectées;

– l’instabilité par flambement : certains éléments, comme les colonnes droites élancées chargées en compression, peuvent subir un changement de forme brutal (courbure) pour une valeur critique de la charge;

– l’instabilité dynamique : certains types de vibrations s’auto-amplifient jusqu’à rupture des éléments si certaines conditions entre la masse et la raideur desdits éléments sont remplies.

Pour vérifier que les constructions sont fiables par rapport à ces critères, il est fondamental de savoir calculer les contraintes et les déformations, au moins dans les régions les plus sollicitées. C’est l’aspect «analyse» de la résistance des matériaux ; il fait appel à plusieurs branches de la mécanique. La mécanique générale fournit les méthodes permettant de déterminer les efforts (forces et moments) agissant sur chaque élément pris isolément et considéré comme indéformable. La mécanique des solides (cf. DYNAMIQUE, ÉLASTICITÉ, RHÉOLOGIE) donne des équations représentatives du comportement intrinsèque des matériaux au cours des phénomènes considérés. La théorie de l’élasticité est, le plus souvent, suffisante pour calculer contraintes et déformations. Le choix de la nature du matériau n’intervient dans la discipline «résistance des matériaux» que par l’examen du rapport entre la résistance et le poids. Bien souvent, ce choix est fait en fonction de considérations économiques (prix, disponibilité) ou d’environnement (dureté, usure, corrosion) qui relèvent de la métallurgie ou de la chimie ^{[cf. MÉTALLURGIE]}. La mécanique des milieux continus fournit des équations générales reliant les contraintes et les efforts extérieurs par les conditions aux limites, les déformations et les déplacements; elle conduit également à des théorèmes généraux d’où découlent des méthodes de calcul.

Toutes ces théories reposent sur des hypothèses qui ne traduisent qu’imparfaitement les faits; en outre, pour chaque problème, la résolution des équations ainsi posées n’est possible que par des méthodes approchées. Finalement, et surtout dans le cas des structures complexes, la résistance des matériaux conduit seulement à la prévision des ordres de grandeur des phénomènes. Pour combler cette lacune, on a introduit la notion de coefficient de sécurité qui intervient sous deux aspects: d’une part, les calculs sont effectués pour des charges extérieures majorées par un premier coefficient; d’autre part, la contrainte maximale admise est la contrainte limite d’élasticité, ou limite de rupture, minorée par un deuxième coefficient. Ces coefficients font l’objet de règlements ou normes propres à chaque corporation (coefficient 5 pour certaines parties de construction de génie civil, coefficient 1,4 pour certains éléments de fusées). Enfin, pour lever toute incertitude, on a recours à l’expérimentation qui joue, en résistance des matériaux, un rôle très important. L’apport expérimental est fondamental pour définir les propriétés des matériaux au moyen d’essais sur petites éprouvettes (cf. MÉTALLOGRAPHIE - Essais mécaniques); il est nécessaire pour vérifier des hypothèses de calcul par des essais sur maquettes et constitue le moyen le plus sûr d’étude de la résistance globale d’ensemble grâce à des essais de structures réelles soumises à des efforts simulant les efforts de service. Ainsi, chaque prototype d’avion subit au sol les charges répétées reproduisant les programmes de vol de la durée d’utilisation envisagée.

1. Notions de mécanique statique et de mécanique des milieux continus

Isolement d’un système et loi fondamentale de la statique

La solution de tout problème de résistance des matériaux commence par la recherche des efforts appliqués au solide que l’on se propose d’étudier. Pour cela, il faut «isoler» le solide de son environnement, c’est-à-dire remplacer toutes les actions du milieu extérieur par des déplacements, des forces et des moments ^{[cf. DYNAMIQUE]}. Ces efforts, dits extérieurs, sont des forces ou des moments directement appliqués, des efforts ou des déplacements imposés par les liaisons avec les éléments voisins (les réactions d’appui en général inconnues a priori); enfin, ils sont parfois constitués par des efforts répartis dans tout le volume solide (le poids, les efforts d’inertie). Il s’agit de faire la somme vectorielle de ces différents efforts (forces et moments), de manière à les remplacer par un torseur équivalent, c’est-à-dire par une seule force et un seul moment résultants (fig. 1).

Le système solide étant ainsi isolé par rapport à un repère (système d’axes) convenablement choisi, on lui applique la loi fondamentale de l’équilibre statique qui se déduit de la loi fondamentale de la dynamique de Newton: Le torseur résultant des forces extérieures d’un système en équilibre est équivalent à zéro . Dans un système d’axes trirectangulaires, l’application de cette loi fournit six équations: trois pour les trois composantes de la force résultante et trois pour celles du moment résultant.

Deux éventualités peuvent alors se produire: ou bien les six équations sont suffisantes pour calculer les réactions d’appui inconnues (autant d’inconnues que d’équations), et l’on dit que le système est isostatique; ou bien les six équations sont insuffisantes pour déterminer les inconnues (plus d’inconnues que d’équations), et le système est dit hyperstatique; certains efforts dépendent des déformations du solide, et on les conserve comme inconnues à déterminer par analyse en mécanique des milieux continus déformables.

Les efforts extérieurs étant déterminés, ou au moins dénombrés, il faut, pour calculer leur incidence au sein de la matière, disposer de théories qui caractérisent les milieux continus solides.

Contraintes et déformations

La contrainte est une notion abstraite destinée à exprimer comment les efforts se répartissent dans les milieux continus. On la définit en opérant une «coupure» dans un solide en équilibre. Si l’on suppose que la matière est continue et que les actions mutuelles des deux parties sont des actions de contact représentées par un champ de forces (milieu non polarisé), sur chaque élément d’aire d de la surface de contact existe une force de liaison entre les deux parties d F= ぢd ; ぢ est le vecteur contrainte relatif à l’élément d’aire considéré(fig. 2). La projection de ぢ sur la normale ょ à la surface en d est la contrainte normale, sa projection sur le plan de partition étant la contrainte tangentielle. Pour représenter l’ensemble des contraintes relatives à tous les plans de partition possibles passant par un même point, on considère l’opérateur 靖 qui, appliqué au vecteur normal ょ, donne le vecteur contrainte ぢ, tel que 靖 練 ょ = ぢ; 靖 est un tenseur du second ordre, appelé tenseur des contraintes , qui peut être représenté dans une base par une matrice symétrique à trois lignes et à trois colonnes. Les termes diagonaux sont les trois contraintes normales (tractions ou compressions), les autres termes étant les trois contraintes tangentielles (forces de cisaillement). Les changements de repère sont importants en résistance des matériaux, car, en chaque point, il existe un système d’axes qui rend cette matrice diagonale; la contrainte est alors représentée par trois scalaires appelés les composantes principales de la contrainte. Une méthode graphique due à Christian Otto Mohr (méthode des cercles de Mohr, cf. ÉLASTICITÉ) permet de rechercher simplement ces quantités qui sont les valeurs propres de la matrice des contraintes.

Si l’on écrit la loi fondamentale relative à un domaine intérieur au solide considéré, en appelant み la densité volumique des efforts extérieurs s’exerçant sur ce domaine, on trouve une condition que doit vérifier tout champ de contraintes:

où 福 est la masse volumique et ゔ l’accélération nulle en statique. On écrit cette équation pour les trois composantes et l’on obtient ainsi les équations d’équilibre de l’élément de volume.

La déformation, liée à l’idée de déplacement, est une notion plus concrète. L’hypothèse des petites déformations permet d’élaborer des théories linéarisées au voisinage de l’état de référence. En particulier, les équations d’équilibre de la statique peuvent être écrites à propos du solide non déformé dans son état de référence. Pour définir la déformation, on suit par la pensée deux points infiniment voisins, M⁰ et M⁰ + d M 轢⁰, dans leur déplacement de corps solide déformable (fig. 3). Ils viennent respectivement en M et M + d M 轢. L’accroissement (d M漣 d M 轢⁰) caractérise la déformation. Si 轢U est le déplacement de M⁰, on montre facilement que:

L’opérateur:

qui s’applique au vecteur d M 轢⁰ pour donner

le vecteur (d M漣 d M 轢⁰), est un tenseur du second ordre: c’est le tenseur des déformations . En fait, seule la partie symétrique de ce tenseur, soit 﨎, définit la déformation de translation et la déformation de rotation. La relation entre ce tenseur des déformations et le vecteur déplacement 轢U en M⁰ est:

où le symbole ()^T désigne la transposition.

Comme pour la contrainte, ce tenseur se représente par une matrice symétrique (3 憐 3) dont les termes diagonaux correspondent aux trois déformations normales et les autres termes aux trois déformations tangentielles. Si l’on se donne un champ de déplacement 轢U(M), il est toujours possible de trouver les six composantes de la déformation; en revanche, six fonctions d’espace ne constituent un champ de déformation intégrable en un champ de déplacement (six équations à trois inconnues) que si elles vérifient d’autres équations appelées équations de compatibilité (cf. ÉLASTICITÉ, tabl. 2, équations 12).

Principe de Saint-Venant

On simplifie les calculs de résistance en appliquant un principe énoncé par Adhémar Barré, comte de Saint-Venant, et souvent vérifié expérimentalement: Les contraintes et les déformations dans une région d’un solide suffisamment éloignée des points d’application des efforts extérieurs ne dépendent que du torseur (force et moment) résultant de ces efforts .

2. Notions de mécanique des matériaux

La mécanique des matériaux fournit, d’une part, les relations entre les contraintes et les déformations qui expriment l’aptitude ou la résistance à la déformation de l’élément de volume du matériau et, d’autre part, les limites à ne pas dépasser pour éviter la rupture. Considérons une éprouvette, d’un matériau métallique par exemple, et examinons les différents phénomènes qui apparaissent sous l’action d’une force axiale de traction F.

Élasticité

Pour des charges relativement faibles, le phénomène de déformation, ne mettant en jeu que des mouvements d’atomes, est réversible, et la relation (loi de Hooke ) entre la déformation 﨎 = L/L⁰ et la contrainte 靖 = F/S⁰ est linéaire:

E étant le module d’élasticité de Young, dont les valeurs sont de l’ordre de 50 000 à 200 000 MPa (1 MPa = 1 N/mm²) pour les matériaux métalliques (fig. 4; cf. MÉTALLOGRAPHIE - Essais mécaniques).

Dans les cas de chargement complexe, la relation tridimensionnelle correspondante qui généralise la loi de Hooke est:

le tenseur des contraintes 靖 étant décomposé en la contrainte moyenne:

et son déviateur:

益 est le coefficient de Poisson, dont les valeurs sont de l’ordre de 0,3. La linéarité de cette loi a pour conséquence le principe de superposition suivant, valable pour certains types de conditions aux limites: Les contraintes ou déformations produites par la somme de plusieurs états de chargement sur un solide élastique linéaire sont égales à la somme des contraintes ou déformations engendrées par chacun des états de chargement appliqués isolément sur le solide .

Si la contrainte F/S⁰ dépasse une certaine valeur 靖^e appelée contrainte limite d’élasticité , le phénomène cesse d’être réversible et linéaire, et la théorie de l’élasticité ne peut plus être appliquée. Cette limite est très difficile à mettre en évidence expérimentalement; aussi, pour les besoins pratiques, a-t-elle été définie conventionnellement par la normalisation française comme étant la contrainte qui engendre une déformation irréversible de 0,2 p. 100 (ordre de grandeur: de 100 à 1 800 MPa). Dans les cas de chargement tridimensionnel, des critères de limite d’élasticité définissent le domaine correspondant dans l’espace des contraintes ^{[cf. ÉLASTICITÉ]}: critère de Tresca, critère de von Mises souvent utilisé dans les calculs et qui définit une contrainte «équivalente»:

telle que, à la limite d’élasticité, s ^II = 靖^e .

Plasticité

La limite d’élasticité franchie, la force F provoque des glissements de cristaux au sein du métal, qui correspondent à des déformations irréversibles telles que, si la force F cesse, il subsiste une déformation permanente 﨎^p . Pour une force F donnée, la déformation est alors la somme d’une déformation dite plastique 﨎^p et d’une déformation élastique 﨎^e qui continue d’être reliée à la contrainte par la loi de Hooke (fig. 5):

Dans le cas d’un chargement croissant, la déformation plastique peut être reliée à la contrainte par une relation non linéaire du type 﨎^p =靖^m ( et m étant des coefficients intrinsèques aux matériaux). Dans le cas général tridimensionnel, la déformation plastique dépend de l’histoire du chargement et ne peut être reliée à la contrainte que par une loi différentielle: loi isotrope de Prandtl-Reuss , par exemple,

où h est une fonction scalaire non linéaire qui s’exprime à l’aide de la loi 﨎^p =靖^m .

Viscoplasticité ou fluage

Les métaux sollicités à une température dépassant environ le tiers de la température absolue de fusion présentent la propriété de se déformer même si la contrainte reste constante: c’est le phénomène de fluage (cf. fig. 6 et MÉTALLOGRAPHIE - Essais mécaniques). Cela se traduit par une viscosité qui vient s’ajouter à la plasticité. La déformation viscoplastique qui en résulte est une fonction du temps (t ) et ne peut être reliée à la contrainte que par sa vitesse. Une loi simple, approchée, valable pour les cas de contrainte variable dans le temps, est la suivante:

où K, m et n sont des coefficients intrinsèques aux matériaux et variables avec la température.

Pour résoudre un problème, cette loi est à associer à 﨎 = 﨎^e + 﨎^p et à 﨎^e = 靖/E comme dans le cas de la plasticité. Les lois de comportement d’élasticité, de plasticité et de viscoplasticité associées aux équations de la mécanique des milieux continus permettent, en principe, de calculer les contraintes et les déformations dans une structure quelconque. Dans beaucoup de cas, la théorie de l’élasticité est suffisante, les théories de la plasticité et de la viscoplasticité n’étant utilisées que dans des calculs de sécurité correspondant aux critères de dimensionnement portant sur la contrainte maximale ou le déplacement maximal. Les critères de rupture font appel à d’autres théories.

Rupture par endommagement de fatigue

Si l’on considère une force F alternative, sinusoïdale par exemple, on constate que l’éprouvette peut se rompre après naissance et développement d’une fissure de fatigue au bout d’un certain nombre de cycles, même si la contrainte est constamment inférieure à la limite d’élasticité définie précédemment. La courbure qui exprime la variation du nombre de «cycles à rupture» en fonction de l’amplitude de la contrainte 靖^M est la courbe de Wöhler (fig. 7). Comme pour la limite d’élasticité, on définit une limite de fatigue conventionnelle 靖^f qui est l’amplitude de la contrainte engendrant la rupture pour un nombre de cycles fixé (par exemple 1 million). Cette courbe de Wöhler sert à choisir la contrainte en vue du dimensionnement d’une pièce mécanique devant résister à un nombre de cycles donné. Si l’amplitude des efforts extérieurs varie dans le temps, la règle de cumulation linéaire de Palmgreen-Miner donne une approximation grossière mais souvent suffisante du nombre de cycles à rupture N^r :

où n ⁱ est le nombre de cycles pendant lesquels s’exerce la contrainte constante 靖ⁱ et N^{r i} le nombre de cycles à rupture qui existerait si l’amplitude de contrainte restait constante et égale à 靖ⁱ (courbe de Wöhler).

Rupture par fissuration

Une fissure ou un défaut au sein de la matière dans une pièce de construction peut devenir instable sous l’action d’un chargement statique dit critique et conduire à la rupture brutale par propagation brutale du défaut ou de la fissure (fig. 8). Ce phénomène met en jeu la ténacité du matériau, propriété qui est liée à l’énergie de décohésion de la matière. Les théories de Griffith et d’Irwin conduisent à la définition d’un facteur d’intensité des contraintes , calculable à partir de la géométrie de la structure, de la longueur de la fissure et des efforts extérieurs; il permet d’exprimer les conditions d’instabilité: la rupture par instabilité se produit quand ce facteur atteint une valeur critique qui est une caractéristique du matériau.

Par exemple, dans le cas d’un milieu bidimensionnel infini correspondant à l’hypothèse des déformations planes, ou des contraintes planes, le facteur d’intensité des contraintes K, pour une contrainte répartie 靖 秊 normale au plan de la fissure de longueur 2 a , s’exprime par:

la rupture par instabilité a lieu quand K = K^c , ténacité du matériau déterminée expérimentalement par des essais de rupture d’éprouvettes fissurées.

Dans certains types de construction, comme les enceintes sous pression, des règlements imposent de vérifier par calculs que les défauts d’une taille juste inférieure à celle qui peut être décelée par les moyens de contrôle non destructifs ne sont pas instables sous l’action des charges de service.

3. Calculs élémentaires d’élasticité

Beaucoup d’éléments de construction travaillent dans des conditions simples, l’analyse de leurs contraintes et de leurs déformations pouvant être effectuée par des méthodes simplifiées qui évitent la résolution de toutes les équations de la mécanique des milieux continus.

Cas de sollicitations simples

Traction ou compression simple

Sur la section considérée, le torseur des efforts extérieurs se réduit à la force normale (fig. 9). La contrainte normale constante dans la section vaut 靖 = F/S et la déformation vaut 﨎 = F/ES.

Si la section est une fonction de la coordonnée d’axe y , le déplacement d’allongement ou de raccourcissement de l’élément de longueur L⁰ est:

Par exemple, le calcul de la contrainte dans la paroi d’un réservoir sphérique (d’épaisseur constante faible par rapport au rayon) soumis à une pression intérieure relève de ce processus; l’action d’un hémisphère isolé (fig. 10) se réduit à une force normale répartie sur le cercle de coupure:

Cisaillement pur

Le seul effort agissant est l’effort tranchant T: c’est un cas de travail fréquent pour les rivets (fig. 11).

On admet que la contrainte tangentielle est constante dans la section 精 = T/S; mais il s’agit d’une hypothèse grossière. Dans le cas d’une section circulaire, la contrainte ainsi calculée ne vaut que les trois quarts de la contrainte au centre de la section, calculée par une théorie plus élaborée.

Flexion pure ou circulaire

L’élément de poutre (fig. 12) est soumis à la seule action d’un moment dit fléchissant. L’hypothèse de Bernoulli (deux sections planes et normales à l’axe restent planes et normales à l’axe après déformation) permet d’écrire a priori la loi linéaire de déformation de l’élément:

où 福 est le rayon de courbure de la poutre.

Les contraintes 靖 = (E/ 福)y doivent équilibrer le moment M égal à:

En introduisant le moment d’inertie de surface:

on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/ 福 = M/EI.

La contrainte s’en déduit immédiatement par la relation 靖 = 漣 (M/I)y .

Torsion pure

Soit un cylindre circulaire droit (fig. 13) soumis, aux deux extrémités, à deux couples antagonistes égaux C. On admet que deux sections voisines restent planes après déformation. Soit d /dx leur rotation relative; la déformation tangentielle est par définition:

la contrainte tangentielle 精 s’en déduit par l’intermédiaire du module de cisaillement G = E/2[1 + 益]:

Cette contrainte répartie sur la section doit équilibrer le couple de torsion:

en introduisant le moment d’inertie polaire:

La rotation unitaire et la contrainte tangentielle s’expriment par:

Ces formules sont utilisées, par exemple, dans le calcul des ressorts hélicoïdaux pour lesquels chaque élément travaille en torsion. On peut ainsi exprimer la raideur du ressort (rapport entre la force et la flèche, la flèche étant la hauteur d’affaissement d’un ressort soumis à une charge) en fonction de son diamètre, du diamètre du fil utilisé, du nombre de spires et du module de cisaillement du matériau.

Calcul des déformées des poutres

Nombre de problèmes relatifs aux poutres consistent à calculer les flèches qu’elles prennent sous l’action des efforts appliqués. L’équation de base est celle de la flexion pure (1/ 福 = M/EI), ce qui revient à négliger l’effet de l’effort tranchant. L’hypothèse des petites déformations permet de relier simplement la courbure à la variation de la flèche Y:

L’obtention de la flèche Y(x ) consiste donc en la double intégration de l’équation différentielle avec les conditions aux limites appropriées (fig. 14): au droit d’un appui simple, la flèche est nulle; au droit d’un encastrement, la flèche et la tangente à la déformée sont nulles.

Pour effectuer cette intégration, il faut exprimer le moment M en fonction de l’abscisse x . On isole l’une des deux parties de poutre séparées par la section d’abscisse x ; le moment M est alors le moment du torseur résultant des forces et des moments appliqués à cette partie de poutre (efforts extérieurs et réactions d’appuis). Lorsque la poutre est hyperstatique, une équation supplémentaire doit être trouvée soit par des considérations géométriques, soit par application du principe de superposition, soit encore par application de principes énergétiques.

Dans certains cas, on cherche à concevoir des poutres d’égale résistance, c’est-à-dire des poutres dont la section évolutive est telle que la contrainte normale maximale soit constante. Un ressort à lames est le plus souvent conçu comme une poutre d’égale résistance (fig. 15), car l’énergie de déformation pour un volume donné est alors maximale.

4. Méthodes générales de calcul

Pour revenir au cas général, résoudre un problème de résistance des matériaux, c’est trouver les champs de contrainte, de déformation et de déplacement qui vérifient simultanément les équations d’équilibre de l’élément de volume, les relations entre les déformations et le déplacement, les équations de comportement (loi de Hooke généralisée en élasticité) et les conditions aux frontières (efforts ou déplacements imposés).

Cela revient à résoudre un problème à quinze équations (dont certaines sont des équations aux dérivées partielles) à quinze inconnues, fonctions d’espace et éventuellement du temps (viscoplasticité). Sauf pour quelques cas particuliers, on ne sait pas trouver la solution rigoureuse et l’on se contente de solutions approchées. La plupart des méthodes de résolution consistent à imaginer, à des fonctions ou coefficients près, un champ de contrainte «statiquement admissible» (vérifiant les équations d’équilibre de l’élément de volume et les conditions aux limites du problème) ou un champ de déplacement cinématiquement admissible (vérifiant les conditions aux limites du problème), et à déterminer ces fonctions ou coefficients pour satisfaire au mieux les équations du problème. Des hypothèses cinématiques propres à certains types de structures aident aux choix des champs de déplacement: hypothèse de Bernoulli pour les poutres, hypothèse de Kirchhoff pour les coques (un élément normal à la surface moyenne de la coque reste normal après déformation).

La notion d’énergie de déformation W et les principes et théorèmes qui s’y rattachent conduisent à des solutions élégantes et rapides. On définit la variation d’énergie de déformation d’un solide V dans une transformation infiniment lente qui produit une variation d 﨎 du tenseur de déformation par:

Dans le cas d’une déformation élastique linéaire 﨎 à partir de l’état naturel non chargé, l’énergie potentielle de déformation vaut:

Le principe des travaux virtuels constitue un moyen particulièrement fécond de traduire la loi fondamentale de l’équilibre statique: Pour tout déplacement virtuel, la somme des travaux des efforts extérieurs et des forces intérieures est identiquement nulle . Par le choix de mouvements particuliers, on peut construire logiquement les théories de poutres, de plaques ou de coques soumises à des chargements quelconques. On en déduit également le théorème de l’énergie potentielle : Le champ des déplacements réels, solution d’un problème donné, est le champ des déplacements cinématiquement admissibles qui minimise l’énergie potentielle du système . On peut alors appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz qui consiste à imaginer une famille de champs cinématiquement admissibles dépendant de n paramètres Cⁱ . L’énergie potentielle W^pot s’exprime en fonction de ces n variables; son minimum absolu n’est pas forcément parmi toutes les combinaisons possibles des valeurs des n variables, puisque leur nombre est fini, mais, d’après le théorème énoncé, la combinaison la plus proche de la solution réelle est celle qui est solution des n équations algébriques:

La méthode des éléments finis adaptée aux calculs sur ordinateurs utilise ce principe. La structure est décomposée en petits éléments simples (éléments triangulaires pour les problèmes plans, pyramides pour les problèmes tridimensionnels) pour lesquels on connaît les relations entre efforts (forces et moments) et déplacements aux nœuds (sommets des éléments). La méthode consiste à trouver les déplacements aux nœuds de tous les éléments assemblés qui minimisent l’énergie potentielle. On est ainsi ramené à la résolution d’un système linéaire qui nécessite l’inversion d’une matrice. Le problème numérique correspondant est ardu à cause de la taille de cette matrice. Des progiciels permettent de décomposer la structure en au moins 10 000 éléments, ce qui correspond à des matrices (bandes) qui atteignent ou dépassent une taille de 50 000 憐 50 000.

Toutes ces méthodes permettent de traiter des problèmes linéaires pour des petites déformations. Pour les problèmes non linéaires associés à des déformations importantes (plasticité, viscoplasticité), la technique consiste en des calculs «pas à pas», chaque pas correspondant à des accroissements petits pour lesquels le problème peut être linéarisé.

5. Instabilité de flambement

Le flambement d’une construction est caractérisé par l’apparition brusque d’un changement de forme dans une direction différente de celle des forces de sollicitation.

Si l’on étudie expérimentalement comment varie la flèche transversale Y d’une poutre comprimée par une force axiale P, on obtient, en fonction de la force, une courbe dont l’allure est indiquée sur la figure 16. La flèche, d’abord nulle, correspond à la théorie de la compression simple, mais, pour une charge particulière, appelée charge critique, la flèche croît brusquement à la suite d’une instabilité; c’est le flambement, qui peut entraîner la ruine de la poutre. La solution analytique de ce problème a été donnée par Leonhard Euler en 1750. Une section de la poutre légèrement déformée est soumise au moment fléchissant 漣 PY. La flèche Y(x ) vérifie l’équation fondamentale des poutres qui, dans ce cas, s’écrit:

Dans le cas d’une poutre sur appuis simples (Y(0) = Y(L) = 0), cette équation différentielle admet pour solution:

or cette équation ne peut vérifier la condition à la limite Y(L) = 0 que si P prend les valeurs particulières P^c définies par:

k étant un entier. La charge critique correspond à k = 1 et s’exprime par:

Le phénomène du flambement est souvent associé à l’effort de compression et il constitue un des critères de dimensionnement des poteaux, des colonnes et des barres comprimées. D’autres types de structures associés à d’autres types de sollicitations sont sujets à l’instabilité de flambement: flambement latéral ou déversement des poutres longues, hautes et minces sollicitées par une force de flexion; flambement ou cloquage des plaques sollicitées par des efforts dans leur plan; flambement des coques ou cylindres minces en compression ou en torsion. Le flambement des cylindres a fait l’objet de nombreux travaux pour l’industrie des fusées spatiales et des missiles.

La méthode générale d’étude du flambement consiste à calculer l’énergie potentielle de la structure chargée pour différents modes de la structure déformée et à trouver la plus petite valeur de la charge qui rend cette énergie minimale.

Le phénomène de flambement est très sensible aux imperfections géométriques (poutre imparfaitement rectiligne par exemple) et aux conditions aux limites (introduction des efforts, encastrements imparfaits, etc.). Ce sont là les deux difficultés majeures de la prévision des conditions de flambement des structures.

Le flambement considéré ici est un phénomène d’instabilité statique. Un autre type d’instabilité peut entraîner la ruine des constructions soumises à des vibrations: c’est le phénomène de résonance . Il peut se produire si la fréquence de l’énergie apportée par l’excitation correspond à l’une des fréquences des vibrations naturelles de la structure. Ces études relèvent de la mécanique vibratoire ^{[cf. VIBRATIONS MÉCANIQUES]}.

6. Méthodes et moyens expérimentaux

La résistance des matériaux fait un large appel à l’expérimentation soit pour définir les propriétés des matériaux, soit pour vérifier les hypothèses de calcul.

Essais des matériaux

Les données nécessaires pour caractériser les matériaux ou pour chiffrer les critères de dimensionnement sont déterminées par des essais sur éprouvettes, effectués en général sur des machines universelles de traction. Les caractéristiques d’élasticité (module de Young et coefficient de Poisson), la limite d’élasticité, la limite de rupture sont obtenues d’après la courbe d’écrouissage (fig. 17), résultat d’un essai en traction simple à vitesse de déformation constante. D’autres types d’essais en traction simple sont utilisés: l’essai de fluage , où l’on étudie comment varie la déformation d’une éprouvette en fonction du temps lorsque celle-ci est soumise à une force constante; l’essai de relaxation , où l’on examine la variation en fonction du temps de la contrainte dans une éprouvette soumise à une déformation maintenue constante; les essais cycliques sur machines hydrauliques asservies, où la contrainte (ou la déformation) varie périodiquement en fonction du temps. On trouvera une description détaillée de ces essais dans l’article MÉTALLOGRAPHIE - Essais mécaniques.

Essais sur modèles

Lorsque les pièces à étudier ont des formes très tourmentées, les hypothèses générales de la résistance des matériaux (principe de Saint-Venant, hypothèse de Bernoulli) sont mal vérifiées et l’on a souvent recours aux essais sur modèles. Ils sont essentiellement constitués par les techniques de photoélasticimétrie dont le principe est le suivant: un modèle de la pièce est réalisé en une résine transparente susceptible de devenir biréfringente lorsqu’on lui applique des efforts. Le modèle soumis aux efforts similaires à ceux de la pièce est traversé par une lumière polarisée qui est analysée par un polariseur. Des franges apparaissent qui caractérisent les déformations (fig. 18). On en déduit les contraintes par calcul. Cette technique, surtout utilisée pour des problèmes bidimensionnels (analyses par tranches planes), s’applique également à des modèles à trois dimensions ^{[cf. ÉLASTICITÉ]}.

Essais de structures

Les essais de structures réelles demandent des forces importantes qui sont en général créées par des vérins hydrauliques pouvant être asservis et dont la commande peut être programmée sur ordinateur. Les paramètres analysés sont en général les déplacements , mesurés par des capteurs mécaniques ou électriques, ou par des méthodes lasers (cf. MESURE - Mesures mécaniques), et les déformations , accessibles directement grâce aux jauges de déformation à fil résistant, et à la photogrammétrie ^{[cf. PHOTOGRAMMÉTRIE]}. Un fil résistant conducteur est collé sur la structure au point où l’on désire connaître la déformation; la colle assurant une liaison parfaite, il subit le même allongement (ou raccourcissement) que la structure. La formule de sa résistance électrique: R = 福l /s , montre que, si le conducteur de longueur l s’allonge (ce qui entraîne une diminution de section par contraction de Poisson), sa résistance R augmente. En insérant ce fil dans un pont électrique de Wheatstone, une mesure de la variation de résistance constitue une mesure de déformation:

k étant un coefficient voisin de 2 pour les jauges classiques, de 200 pour les jauges à semiconducteurs. Si les déformations de la structure sont élastiques, on en déduit les contraintes par la théorie de l’élasticité.

● Résistance des matériaux partie de la mécanique appliquée ayant pour objet l'évaluation des contraintes et des déformations subies par une structure sous l'action de forces extérieures données.

Encyclopédie Universelle. 2012.